icon: LiAccessibility

Чм семестровая по СЛАУ

На практике часто возникают системы из 3-х диагональных матриц

Тут у нас , ,

Построим метод прогонки на методе исключения переменных Гаусса

Для всех уравнений системы мы исключаем переменную из второй строки
Затем для мы будем исключать переменную
Так мы получим одно уравнение относительно

Подробнее

Положим для этого ,
Тогда:

Тут уже ,
Заметим, что теперь система не зависит от . Таким образом, мы получили укороченную версию системы

Так, приходим к системе:

Решив эту систему, можно найти
Так, мы получаем рекурсивную формулу. Обобщим ее:

М ы с м е н и л и и н д е к с н а д л я у д о б с т в а

Итак, задача сводится к нахождению прогоночных коэффициентов и

Эти формулы для решения методом Гаусса получил специальное название — метод прогонки

Условия устойчивости метода прогонки

Из формул прогоночных коэффициентов очевидно, что

Данное условие эквивалентно диагональному преобладанию матрицы , т.е. главная диагональ по модулю больше суммы модулей элементов на остальных диагоналях:

Задача

Для 09-321:

Для 09-322:

Также нужно дополнить систему до
Нужно составить таблицу:

Вторая часть хз что там

Итерационные методы

Диагональные элементы матрицы отличны от нуля. Разрешаем относительно переменной, стоящей на главной диагонали:

Для итерационных методов метод Якоби:

п о к а н е

Для нашей 3-х диагональной матрицы:

Считаем пока

Метод Зейделя

Просто используем уже посчитанные :

В о т т у т

Метод релаксации

Если — метод верхней релаксации, если — нижней
Параметр подбираем экспериментально
Прикол в том, что все так же, кроме

Метод наискорейшего спуска

Имеем:

Где — вектор невязки

Шаблон таблицы

	$п р о г о н к и$	$з е й д е л я$	$з е й д е л я$

студенты				Extra
Айдашев Наиль	3	2	2
Ашуров Темирлан	6	6	6
Бакиров Карим	3	1	1
Бикмансуров Даниил	1	3	1
Быданов Марат	1	3	3
Гарифуллин Амир	5	5	5
Замилов Тимур	1	3	2
Калимуллина Гульназ	1	2	1
Кириллова Дарья	1	1	1
Лещенко Илья	3	5	2	−5
Логинова Диана	2	1	1
Нурутдинов Игорь	3	2	1
Сашикова Елизавета	1	2	2
Степанова Анастасия	2	2	1
Суюндуков Гайсар	4	1	1
Уфаев Евгений	3	3	3
Чуркин Степан	2	1	2
Шабардин Егор	1	2	3
Шакирова Камиля	1	1	2
Шолохов Владислав	2	2	2