icon: LiAreaChart

Численное вычисление квадратурных форм

Цель: высчитать интеграл при помощи квадратурных форм

Результат(тык)

Сравнение популярных способов

Метод левых прямоугольников:


0.00	0.000000	0.000000	0	1
0.20	0.222703	0.222703	5.42728e-07	8192
0.40	0.428392	0.428393	5.0994e-07	65536
0.60	0.603856	0.603857	7.74047e-07	131072
0.80	0.742101	0.742102	8.48733e-07	262144
1.00	0.842701	0.842701	6.93895e-07	524288
1.20	0.910314	0.910315	9.12102e-07	524288
1.40	0.952285	0.952286	5.94847e-07	1048576
1.60	0.976348	0.976349	7.42921e-07	1048576
1.80	0.989091	0.989091	8.64023e-07	1048576
2.00	0.995322	0.995323	4.18471e-07	2097152

Метод правых прямоугольников:


0.00	0.000000	0.000000	0	1
0.20	0.222703	0.222703	5.42728e-07	8192
0.40	0.428392	0.428393	5.0994e-07	65536
0.60	0.603856	0.603857	7.74047e-07	131072
0.80	0.742101	0.742102	8.48733e-07	262144
1.00	0.842701	0.842701	6.93895e-07	524288
1.20	0.910314	0.910315	9.12102e-07	524288
1.40	0.952285	0.952286	5.94847e-07	1048576
1.60	0.976348	0.976349	7.42921e-07	1048576
1.80	0.989091	0.989091	8.64023e-07	1048576
2.00	0.995322	0.995323	4.18471e-07	2097152

Метод центральных прямоугольников:


0.00	0.000000	0.000000	0	1
0.20	0.222703	0.222703	1.79112e-07	64
0.40	0.428392	0.428393	3.13795e-07	128
0.60	0.603856	0.603856	2.09474e-07	256
0.80	0.742101	0.742101	1.31681e-07	512
1.00	0.842701	0.842701	1.45625e-07	512
1.20	0.910314	0.910314	7.35829e-08	512
1.40	0.952285	0.952285	8.63214e-08	512
1.60	0.976348	0.976348	6.21656e-08	512
1.80	0.989091	0.989091	2.6117e-07	256
2.00	0.995322	0.995322	1.00505e-07	256

Это уже гораздо быстрее!

Если решить высчитывать в методе левых прямоугольников первый и последний отрезки при помощи
метода центральных прямоугольников, то, внезапно, несмотря на предположение, количество
разбиений вырастает до

Метод трапеций:


0.00	0.000000	0.000000	0	1
0.20	0.222703	0.222703	8.55699e-08	128
0.40	0.428392	0.428392	1.55708e-07	256
0.60	0.603856	0.603856	1.1486e-07	512
0.80	0.742101	0.742101	1.5884e-07	512
1.00	0.842701	0.842701	2.50252e-07	512
1.20	0.910314	0.910314	3.66987e-07	512
1.40	0.952285	0.952285	3.2961e-07	512
1.60	0.976348	0.976348	2.78573e-07	512
1.80	0.989091	0.989090	2.304e-07	512
2.00	0.995322	0.995322	2.14844e-07	512

Примечательно то, что тут максимальное число разбиений наблюдается в
середине отрезка . Причем, невзирая на ожидаемый лучший чем метод центральных
интегралов результат, у последнего так же можно заметить подобную тенденцию. Однако, у
методов правых и левых прямоугольников такого нет у них по мере возрастания
возрастает и необходимое количество разбиений для обеспечения точности

Метод Симпсона:


0.00	0.000000	0.000000	0	1
0.20	0.222703	0.222703	8.15721e-09	4
0.40	0.428392	0.428392	9.74687e-09	8
0.60	0.603856	0.603856	4.06359e-08	8
0.80	0.742101	0.742101	4.19496e-08	16
1.00	0.842701	0.842701	2.24613e-08	16
1.20	0.910314	0.910314	4.78853e-08	8
1.40	0.952285	0.952285	6.90624e-08	16
1.60	0.976348	0.976348	9.26237e-08	16
1.80	0.989091	0.989090	1.28231e-07	16
2.00	0.995322	0.995322	1.14107e-07	32

А вот это уже серьезный результат. Невзирая на, казалось бы, сложность алгоритма:
высчитывание, по сути, интеграла сплайна из парабол, более сложная логика с лихвой
компенсируется многократно более быстрым подсчетом результата:
(по сравнению с лучшим до этого методом центральных прямоугольников)

Метод Гаусса:


0.00	0.000000	0.000000	0	1
0.20	0.222703	0.222703	5.61481e-08	2
0.40	0.428392	0.428392	5.17605e-09	8
0.60	0.603856	0.603856	3.83412e-08	8
0.80	0.742101	0.742101	3.01009e-08	16
1.00	0.842701	0.842701	7.80269e-09	16
1.20	0.910314	0.910314	9.01245e-08	8
1.40	0.952285	0.952285	4.11593e-08	16
1.60	0.976348	0.976348	2.39354e-08	16
1.80	0.989091	0.989091	2.54125e-08	16
2.00	0.995322	0.995322	6.29995e-08	16

Заслуженно лучший метод. Не зря ему уделяется целая отдельная глава в пособии Даутова
Вычисления стали лишь немного более громоздкими, однако эффективность возросла в раза по
сравнению с методом Симпсона, и в целую раз на фоне метода левых прямоугольников