tags:
  - "#y2025"
  - умф
  - конспекты
  - учеба
  - кфу
master: "[[УМФ Hub (лекции)]]"
created: 2025-04-11
aliases: 
icon: LiSkull

Классификация и приведение к каноническому виду ДУ II порядка

Уравнение в частных производных II порядка

Так называют уравнения вида

Где

Если же

То гворят, что уравнение имеет постоянные коэффициенты

Канонические ДУ II порядка (случай )

Мы работаем с уравнениями вида

Будем рассматривать только тот случай, когда функция

, благодаря чему ее смешанный производные второго порядка равны

Будем использовать следующие сокращения:

Исследуем как следует такие уравнения. Сделаем замену переменных:
Причем эти функции должны быть линейно независимы:

Я к о б и а н

Выведем несколько полезных формул:

Или, частный случай

Подставляя это в исходное уравнение получаем:

Благодаря этой замене мы можем примести любое ДУ II порядка к каноническому виду

Подберем функцию () так, так, чтобы ()

Положим , выразим тогда . Отсюда получаем (как по теореме о неявной функции)
Значит имеем:

Потом можно получить характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение исходного выражения

Далее выразим :

В зависимости от определяется тип ДУ

Виды канонических ДУ II порядка

— гиперболический тип
— параболический тип
— эллиптический тип

Для каждого из них определен свой порядок действий:

Делаем замену
У нас единственное решение . Тогда вводим вторую, линейно независимую с функцию
У нас будет пара сопряженных комплексных чисел

Где

— первые интегралы системы

Рассмотрим каждый из них по отдельности детальнее

(гиперболический)

Тогда , , а исходное уравнение имеет вид

(параболический)

Тогда , , а

Собирая полные квадраты получаем:

(эллиптический)

Тогда , , а
Для исследования уравнений этого типа введем следующие переменные:

Найдем тогда

А это достигается тогда, когда , а , если положить в формулах члены и равными соответствующими и

Приведем к канонической форме уравнение

Для начала составим характеристическое уравнение:

Тогда гиперболический тип

Решив ДУ мы получаем 2 корня:

$С$

Далее находим
$П р о и з в о д н а я п о П р о и з в о д н а я п о$
и
$П р о и з в о д н а я п о П р о и з в о д н а я п о$

Следующим шагом вычисляем и получаем следующее выражение

После, исходя из формул и выражаем и через и :

Осталось лишь подставить и и получить уравнение, записанное в канонической форме, зависящее лишь от и :

На линейной алгебре было нечто подобное для уравнений с постоянными коэффициентами. Наш же способ работает и в том случае, но не наоборот

Случай с постоянными коэффициентами

(гиперболический)

Решая уравнение, и, после интегрируя обе части, получаем

Тогда наши первые интегралы системы имеют вид:

О н и д о л ж н ы р а в н я т ь с я к о н с т а н т е С

В таком случае каноническая форма будет иметь следующий вид:

(параболический)

Имеем уравнение:

Отсюда делаем, соответственно, следующую замену:

При этом мы выбираем сами. Например, для удобства возьмем
В таком случае каноническая форма будет иметь следующий вид:

(эллиптический)

Тогда будем иметь уравнение

Таким образом, разделяя на мнимую и вещественную часть, мы получаем следующую замену:

В таком случае каноническая форма будет иметь следующий вид:

Примеры

После замены и нахождения получаем ответ:

Снова делаем замену, находим те же и после подстановки получаем ответ