🌡

Уравнения теплопроводности стержня

Рассматривается стержень длинны . Положим — поперечное сечение, — плотность, — удельная теплоемкость. Обозначим температуру через

Пусть в точке температура , в — , причем . Экспериментально доказано, что:

Вывод уравнения

Закон Фурье

, где — количество тепла, — коэффициент теплопроводности
Это количество тепла, протекающее через точку в момент времени в направлении оси

Выделим малый интервал . Рассмотрим приращение температуры

Закон сохранения энергии в интегральной форме

, где — необходимое количество тепла для нагревания от до

Посмотрим на рисунок и вычислим количество теплоты, поступающее слева и справа при помощи закона Фурье:

А теперь вычислим количество теплоты в источнике тепла (заштрихованная область):

где — распределение источников тепла, т.е. их плотность

Пусть у нас не теплоизолированный источник. Поэтому имеет место теплообмен с окружающей средой — найдем его:

где — коэффициент теплообмена, — температура среды

Тогда искомое будет равно:

И... Применяем теоремы о среднем и о конечных приращениях!

Устремляем , как обычно:

Как можно заметить, это уравнение параболического типа!

Если коэффициенты однородные

Граничные условия

Поскольку производная первого порядка, то необходимо лишь одно начальное условие — начальная температура

1 рода

Неоднородные

Мы задаем какую-либо температуру и на концах стержня:

Однородные

На концах стержня поддерживается нулевая температура:

2 рода

Однородные

Пусть концы стрежня теплоизолированны. Тогда на них отсутствует теплообмен с окружающей средой:

Теоремы о... среднем..., приращениях:

Пум-пум ... Запишем условия сразу для 2-х концов:

Неоднородные

Теперь концы могут быть не теплоизолированны:

где — теплообмен конца с окружающей средой

Теоремы о... среднем..., приращениях:

Пам-пам ... Запишем условия сразу для 2-х концов:

Во втором условии минус уходит из-за того, что направлен против оси

Interactive Graph
Table Of Contents
🌡Уравнения теплопроводности стержня
Вывод уравнения
Если коэффициенты однородные
Граничные условия
1 рода
Неоднородные
Однородные
2 рода
Однородные
Неоднородные