🎟

Уравнения малых продольных колебаний стержня

На оси расположен стержень длины , плотностью и площадью поперечного сечения . Мы будем рассматривать малые приращения струны

В каждый момент времени продольное перемещение точки определяет функция . Каждая точа переместится в точку точка переместится в точку
Относительным удлинением называют соотношение абсолютного удлинения к изначальной длине:

Изначальная длина — расстояние между и — . Это значит, что после деформации мы прийдем в точку
Таким образом, абсолютное удлинение — разница между конечной длиной и начальной, равна
Отюсда, абсолютное удлинение
Если возьмем предел при , мы получаем

Если присутствует удлинение, по, по закону Гука существует сила, пропорциональная относительному удлинению

, где — коэффициент закона Гука — модуль Юнга

Объемная плотность

Будем обозначать плотность этой силы через объемную плотность

И снова! Второй закон Ньютона, выделив малый временной интервал :

Осталось лишь применить теорему о конечных приращениях и о среднем для интеграла:

Осталось лишь снова устремить и получить итоговый результат:

В случае мы положим и получим:

Краевые и начальные условия

Граничные условия первого рода

Однородные:

И неоднородные:

Граничные условия второго рода

Однородные

Пусть для начала концы будут свободны:

Теорема о среднем:

Устремляем снова и получаем

Теперь и для правого конца те же действия применяем. В итоге получаем

Неоднородные

Пусть силы направлены вдоль перемещения. Сила действует в точке , а сила действует в точке :

Применяем теоремы о среднем:

Снова устремляем :

И, соответственно, те же действия и для правого конца:

Минус уходит ибо у нас во втором случае он возникнет и перед

Краевые условия третьего рода

В этом случае концы закреплены упруго — на концы действует сила сопротивления, пропорциональная перемещению. В этот раз силы направлены противоположно оси :

Тогда:

Применяем теоремы о среднем:

Снова устремляем :

Аналогично и для правого конца. Получаем:

Interactive Graph
Table Of Contents
🎟Уравнения малых продольных колебаний стержня
Краевые и начальные условия
Граничные условия первого рода
Граничные условия второго рода
Однородные
Неоднородные
Краевые условия третьего рода