tags:
  - "#y2025"
  - умф
  - конспекты
  - учеба
  - кфу
  - простейшие_умф
master: "[[УМФ Hub (лекции)]]"
aliases: 
icon: LiStrikethrough

Уравнения малых поперечных колебаний струны

У нас есть струна длины . Каждая ее точка определяется координатой . Будем рассматривать процесс отклонения струны. Струна определяется координатами точек в каждый момент времени . Будем предполагать, что вектор перемещения перпендикулярен оси . Колебания же струны можно описать функцией

рисунок для примера с колебанием струны.png

Сделаем пару упрощений:

Мы будем рассматривать только малые колебания, посему пренебрегаем квадратами производных:
Струна — это упругая нить, поэтому у нее нет поперечного сечения
На струну действуют внешние силы, направленные вдоль оси

Найдем теперь длину дуги при малом колебании

Выделим малый участок на оси : , тогда его длина равна при поперечных колебаниях удлинение струны отсутствует

Рассмотрим силу натяжения струны в момент времени

Обозначим натяжение струны в момент времени как . Однако, поскольку удлинение струны отсутствует, то натяжение не зависит от времени:

Но зависит ли сила натяжения от ?

Посчитаем проекцию силы натяжения в точке и :

П р о е к ц и я н а П р о е к ц и я н а

Поскольку и противоположно направлены, то (проекция вектора на отрицательна — см. рисунок). А теперь воспользуемся правилом Даламбера (равнодействующая всех сил на тело равна нулю)

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ость

Рассмотрим теперь некоторый малый интервал . Пусть есть тело массой . Тогда обозначим через количество движения, — импульс силы. Тогда

Обозначим через плотность распределения силы в момент времени , а через — плотность материала струны. Тогда, использовав второй закон Ньютона в проекции на ость мы получим:

Используя теорему Лагранжа о конечных приращениях мы получаем

А далее применим теорему о среднем для интеграла:

Тут и — промежуточные значения (см. теорему о среднем для интеграла и метод конечных приращений Лагранжа)

И, сокращая , в пределе при получаем уравнение колебания струны:

Если струна однородная, то мы имеем
, где

Когда внешние силы отсутствуют, имеем , т.е.

Глазырина Старшая

"Вот на нем я сейчас кончу"

Краевые и начальные условия

Для единственности решения ДУ введем краевые и начальные условия; разберем каждое из них по порядку:

Начальные условия

Мы задаем начальные условия для функции и ее производных (в нашем случае только лишь первой производной):
,

Краевые условия

Они бывают однородные и неоднородные:
Неоднородные — система из условий и
Однородные — условия вида . Если имеем дело с , то получаем систему, в которой струна начинает из состояния покоя

Краевые условия 1 и 2 и 3 рода

Если в условиях фигурирует , тогда говорят, что это краевые условия 1 рода. Если производная — тогда 2 рода. В случае, когда есть как , так и , то мы имеем дело с уловием 3 рода

краевые задачи рисунок.png

Условия свободных концов

На струне длины плотности положим конец свободным, т.е. ни одна сила не действует на точку . Применим для этого второй закон Ньютона в проекциях на ось :

Применим теоремы о среднем:

Не упускаем из виду то, что — это плотность силы. Ведь чтобы найти силу на участок струны, мы, по сути, делаем то, чем интеграл является. Не в смысле площади, а в смысле суммы

Однородное граничное условие второго рода

Tо есть, устремив и получаем

Проведя те же операции для конца , получим и второе условие. В совокупности имеем

Краевые условия, когда на концы действует сила

Пусть на конец в точке действует сила , а на — . Выведем тогда условия и для этого случая:

Снова применяем теорему о среднем:

Так, мы приходим, устремляя и , получаем равенство — неоднородное граничное условие второго рода:

Во втором условии у нас пропадает минус из-за того, что на этот раз интеграл

Проводя те же махинации по отрношению ко второму концу приходим у условиям

Краевые условия, когда струна закреплена упруго

В этом случае на конца струны действует некая сила, и, соответственно, сила сопротивления, пропорциональная ей:

, — пропорциональные силы. Обратим внимание, что коэффициент в обеих случаях одинаков

Тут все так же применяем второй закон Ньютона:

И снова — теорема о среднем!

Снова устремляя и , получаем однородное условие 3 рода. Сразу запишем и для точки :

Глазырина Старшая

"В математике без грязи никак!"

Уравнение поперечных колебаний струны при действии сторонней силы в точке

Пусть концы струны закреплены жестко. Есть точка , в которой действует сила вдоль оси . И снова, воспользуемся вторым законом Ньютона:

Снова применяя теоремы о среднем, получим хорошо знакомое нам равенство, если :

В случае же, когда мы приходим к уравнению

Снова применяя теорему о среднем. Однако, теперь у нас больше не сократится, и, устремляя все к нулю, мы приходим к тому, что

Тем не менее, это ошибка — видимо, функция не дифференцируема в точке . Поэтому мы поступим так: положим . Это очевидно следует при

То есть, у производной в точке наблюдается скачок, равный

Это можно представить так:

Когда мы оттягиваем струну в точке, то там из-за действия нашей сторонней силы возникает "бугорок" — скачек функции, если удобно

Уравнение поперечных свободных колебаний струны, закрепленных в обоих концах при наличии сторонней массы в точке

Рассматриваем именно массу , а не вес не учитываем — он пренебрежительно мал

В точке

у нас не будет отличий от обычного уравнения. Поэтому рассмотрим для точки

Применяем нашу любимую теорему о среднем:

Как обычно, устремим и и прийдем к конечному результату. Естественно, множитель с занулится:

То есть, у производной в точке наблюдается скачок, равный

Это можно представить так:

При колебаниях грузик немного "тормозит" движение струны, из-за чего ее форма становится похожа на модуль — непрерывную, но не дифференцируемую функцию