LiArrowUp10

Элементы функционального анализа

Это обобщение математического анализа, в котором вместо мы работаем с функциями

Множество всех непрерывных функций на отрезке

Пусть дан отрезок . Множество всех функций, непрерывных на этом отрезке называют . от слова continues

— непрерывна на ;
раз непрерывно дифференцируемая на отрезке функция

Пусть непрерывная на отрезке , а так же первые ее производных также непрерывны на этом отрезке, то является раз непрерывно дифференцируемой функцией на отрезке . Пространство этих функций обозначается через

Если функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то она принадлежит классу функций (множеству)
Интегрируемая по Лебегу функция порядка на отрезке

Так называют такие функции , для которых , . Эти функции принадлежат классу

Метрические пространства

Пусть —некоторое множество объектов (числа, вектора, функции)

Метрика

определим такую неотрицательную функцию — метрику , что

  1. , причем
Пространство с метрикой называют метрическим пространством

Или же, говорят, пару

Запишем несколько самых популярных метрик

— числовая прямая

— натуральные числа; дискретное расстояние

— числовая плоскость

— пространство числовых последовательностей суммируемых с степенью , то есть


Тогда запишем метрику как

— пространство всех ограниченных числовых последовательностей, то есть


Тогда запишем метрику как

— пространство числовых последовательностей (прям любых)

Примеры

Метрика в
  1. Первая аксиома выполняется автоматически и очевидно
  2. Вторая тоже выполняется благодаря свойствам модуля
  3. Рассмотрим как дробь (при откидывании положительных слагаемых из знаменателя дробь становится больше — доказательство на плечах читающего в виде упражнения)
Проверим для

  1. Очевидно
  2. Очевидно
  3. Если , то получаем неравенство . Если , то как минимум одно слагаемое в сумме справа будет равняться 1, потому что или , или , или оба этих условия выполняются сразу:

Interactive Graph
Table Of Contents
LiArrowUp10Элементы функционального анализа
Метрические пространства
Запишем несколько самых популярных метрик
Примеры