tags:
  - "#y2025"
  - матан
  - конспекты
  - учеба
  - кфу
master: "[[Матан Hub (лекции)]]"
created: 2025-04-16
aliases: 
icon: LiSigmaSquare

Тригонометрические ряды Фурье

Ортогональные и ортонормированные системы

Пусть функции . Тогда эти системы функций называются ортогональными на , если . Если же при этом , то систему называют еще и ортонормированной на

Система функций

ортогональна на

Разложение в ряд Фурье

Ряд и коэффициенты Фурье

Пусть . Тогда ее можно представить в виде ряда Фурье по ортогональной системе на системе функций в виде , где — коэффициенты Фурье. Причем ряд должен равномерно сходится на

Доказательство

. Тогда по теореме об интегрировании равномерно сходящегося ряда на можно почленно интегрировать этот ряд:

Тогда исследуем:

п о с в о й с т в а м о р т о г о н а л ь н ы х н а о т р е з к е ф у н к ц и й

Тригонометрический ряд Фурье

Разложение в тригонометрический ряд Фурье

, где , ..., , и , — тригонометрические коэффициенты Фурье

Если продолжить функцию вне

с периодом

то мы получим ее представление в виде ряда Фурье на

Причем, если четная, то , где ; Если нечетная, то аналогично, только с и : ,

Мы продублируем нашу функцию на и получим нечетную функцию с периодом — разложим ее в тригонометрический ряд Фурье:
— найдем :
, аналогично и с . Получаем
Если мы вычислим разложение в ряд в концевых точках , то получим точки разрыва функции: вместо получим

Точки разрыва ряда Фурье

Значения ряда Фурье в точках разрыва

Из примера выше можно сделать вывод: в концевых точках функция и ряд Фурье отличается, т.к. в точках разрыва I рода ряд Фурье будет сходится к значению , где — точка разрыва I рода; иначе в точке ряд равен . Докажем это для общего случая:

Пусть правая и левая производные в фиксированной точке равны

Тогда нужно (исходя из интеграла Дирихле) доказать, что

Докажем тогда это:

п о т о м у ч т о р а с с т о я н и е м е ж д у р а в н о п о н е ч е т н о с т и п о л о ж и м

При имеем по эквивалентности
Это значит, что

Это и доказывает теорему

Что если функция не нечетная и не четная относительно 0?

— разложим по косинусам

;

Тогда

— разложим по синусам

Возьмем интервал и будем использовать на , а на — продолжим нечетным способом, те

;
$н е ч е т ч е т$
Тогда

Погрешность замены функции на тригонометрические суммы

Пусть

определена на
либо
или хотя бы кусочно-непрерывна на и между точками разрыва монотонна

Положим

Тут и — какие-то числа, не обязательно равные коэффициентам Фурье
Тогда обозначим погрешность как

Но для удобства будем преимущественно использовать абсолютную погрешность

Оценить максимальную погрешность на интервале очень сложно и гораздо проще оценить дисперсию — среднеквадратичную погрешность

Цель: найти

Распишем :

Тут содержит все пары вида ; По свойствам таких функций, он занулится при интегрировании от до . Кроме того,
Тогда приходим к следующему равенству:

Прибавим и вычтем . Получаем:

Так, получается, что минимальная погрешность возникает при использовании коэффициентов Фурье

Отсюда
сходится
Перейдем к пределу: