tags:
  - "#y2025"
  - матан
  - конспекты
  - учеба
  - кфу
master: "[[Матан Hub (лекции)]]"
created: 2025-04-22
aliases: 
icon: LiTriangleRight

Интеграл Дирихле

Пусть — -периодическая функция на . Тогда ее можно разложить в ряд Фурье:

п о д с т а в и м ф о р м у л ы к о э ф ф и ц и е н т о в Ф у р ь е и с д е л а е м п а р у д е й с т в и й п р и

Так, мы приходим к интегралу Дирихле

— сумма первых членов

Функция (ядро) Дирихле

— функция Дирихле

Используя тригонометрические формулы и домножение на можно избавиться от ряда косинусов и получить

График

Функция Дирихле.png

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

u = np.linspace(-4*np.pi, 4*np.pi, 1000)
u = u[np.abs(np.sin(u/2))>1e-3]

plt.figure(figsize=(7,4))
for n in [1,7,15]:
    D_n = np.sin((n+0.5)*u)/np.sin(u/2)
    plt.plot(u, D_n, label=f'$n={n}$', linewidth=1)

plt.axhline(0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)  # горизонтальная линия y=0 для ориентира
plt.title('Ядро Дирихле $\\mathcal{D}_n(u)$')
plt.xlabel('u')
plt.ylabel(r'$D_n(u)$')
plt.grid(True)
plt.legend(loc='upper right')
plt.tight_layout()
plt.show()

Свойства функции Дирихле

В точках предел будет равен
четная
периодическая. Наименьший возможный период равен